Главная страница
qrcode

16.Задания В13,стерео.задачи. Задания В13 стереометрические задачи на нахождение геометрических величин


Скачать 284,5 Kb.
НазваниеЗадания В13 стереометрические задачи на нахождение геометрических величин
Анкор16.Задания В13,стерео.задачи.doc
Дата23.11.2017
Размер284,5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файла16.Задания В13,стерео.задачи.doc
ТипДокументы
#12852
Каталог


Задания В13 :

стереометрические задачи на нахождение геометрических величин

многогранников и тел вращения

В заданиях В13 предложены простые задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей) многогранников и тел вращения. При решении использовать планиметрические факты и методы: задания В5 «Вычисления площади плоской фигуры» (стр. 22-27), задания В8 «Вычисление элементов прямоугольного треугольника» (стр. 63-69).

Многогранником называют тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. Стороны граней называются ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Тетраэдр, параллелепипед – примеры многогранников.

Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения.



Основание цилиндра

Боковая поверхность

Образующие


Основание цилиндра

Ось цилиндра

Изображения пространственных фигур показаны в задании В10 «Вычисление площадей поверхностей, объемов многогранников и тел вращения» (стр. 85).

Показаны образцы решения некоторых стереометрических задач.

При решении задач нужно знать:



1. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.




φ


2. Если угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны скрещивающимся прямым, равен φ, то говорят, что угол между скрещивающимися прямыми равен φ.

А
α

3. Длина перпендикуляра, проведенного из точки А до плоскости α, называется расстоянием от точки А до плоскости α.




4. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

А

О D

β

С α В


5. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой АВ и двумя полуплоскостями α и β с общей границей АВ, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости α и β называются гранями, прямая АВ – ребром, угол СОD – линейным углом двугранного угла.

6. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении

2:1, считая от вершины.

стереометрические задачи, примеры 1-3

Пример 1.

В13. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известно, что ВD1 = ,

ВВ1 = 3, А1D1= 4. Найдите длину ребра АВ.

D1

A1
С1
B1 D
A

С
B


Решение:

Так как параллелепипед АВСDА1В1С1D1- прямоугольный, то ВВ1D1 и А1В1D1 – прямоугольные.

Тогда по теореме Пифагора:

1) ВD12 = В1D12 + ВВ12, отсюда

()2 = В1D12 + 32,

29 = В1D12 + 9,

D1

4

A1

С1

B1 D



A 3

? C

B



В1D12 = 20,

2) В1D12 = А1В12 + А1D12, отсюда 20 = А1В12 + 42,

20 = А1В12 + 16, А1В1 2 = 4, т.к. А1В1 0, то А1В1 = 2.

Длина ребра АВ = А1В1 = 2. В бланк ответов: 2

Пример 2.


В13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка К – середина ребра ВС, S – вершина. Известно, что АВ = 6, а SК = 7. Найдите площадь боковой поверхности.

S


А В


К

С

Решение:

В данной правильной пирамиде боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. К – середина ребра ВС. Значит, SК – апофема боковой грани, т.е. высота треугольника ВSС.

В основании данной правильной пирамиды – равносторонний

S

7
А 6 В


К

С

треугольник. Значит, ВС = АВ = 6.

Отсюда площадь боковой поверхности пирамиды Sбок = 3ВSС = .

В бланк ответов: 63

Пример 3.

В13. В правильной треугольной пирамиде SABC М – середина ребра АВ, S – вершина. Известно, что ВС = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 18. Найдите длину отрезка SМ.

S


С В


М

А

Решение:

В данной правильной пирамиде боковая поверхность состоит из трех равных равнобедренных треугольников. М – середина ребра АВ. Значит, SМ – апофема боковой грани, т.е. высота треугольника АSВ.

В основании данной правильной пирамиды – равносторонний треугольник. Значит, АВ = ВС = 4.

S


С 4 В
М
А

Следовательно, площадь боковой поверхности пирамиды Sбок. = 3ВSС, 18 = .

Отсюда SМ = 3. В бланк ответов: 3

Пример 4.


В13. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 7, объем пирамиды равен 21. Найдите длину отрезка ОS.

S

В

А

О
С

Решение:

В основании данной правильной пирамиды – равносторонний треугольник. Отсюда медианы, значит и серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС, пересекаются в точке О, т.е. О – центр основания. Из определения правильной пирамиды отрезок ОS – ее высота.

Объем пирамиды , где – площадь основания, т.е. площадь треугольника АВС, h- высота пирамиды.

Подставляя в формулу = 21, = 7, получим . Отсюда высота h = ОS = 9.

В бланк ответов: 9

Пример 5.


S

A C

K L

B

В13. В правильной треугольной пирамиде SABC ребра BA и BC разделены точками K и L так, что BK=BL=4 и KA=LC=2. Найдите угол между плоскостью основания ABC и плоскостью сечения SKL. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Углом между плоскостью основания

ABC и плоскостью

S

A Е C

2 2

K О L

4 4

В

сечения SKL является линейный угол SОВ. В основании данной правильной пирамиды – равносторонний треугольник АВС. ВЕ – его высота, которая делится точкой О в отношении 2:1, считая от вершины В. Значит, О - центр треугольника АВС.

Из определения правильной пирамиды отрезок SО – ее высота. Следовательно, SОВ=90°.

В бланк ответов: 90



Пример 6.

S

D К

А О

С

М

В

В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота SО равна 9, диагональ основания ВD равна 8. Точки K и M – середины рёбер СD и BС соответственно. Найдите тангенс угла между плоскостью SMK и плоскостью основания АВС.

Решение:

Углом между плоскостью SMK и

S

D

К

А О

Е С

М

В

плоскостью основания АВС является линейный угол SЕА. В основании данной правильной пирамиды – квадрат АВСD. Значит, ВD=АС=8, тогда ОС = 8:2 = 4. Рассмотрим ΔSЕО – прямоугольный, т.к. SО = 9 - высота данной пирамиды. По условию точки K и M – середины рёбер СD и BС соответственно, значит, ОЕ = ОС:2 = 4:2 = 2.

tgSЕА =tg SЕО =. В бланк ответов: 4,5

Пример 7.

В13. Диагональ АС основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6. Высота пирамиды равна 4. Найдите длину бокового ребра SB.

S


D C

O

А B


Решение:

В основании данной правильной пирамиды – квадрат ABCD. Значит, по свойствам квадрата АС=BD, ОВ= BD:2=6:2=3.

SO-высота пирамиды, значит,

ОSB - прямоугольный.

По теореме Пифагора

2 = SО2 + ОB2, тогда

S
4

D C

O

3

А B



2 = 42 + 32, SВ2 = 16 + 9, 2 = 25,

т.к. SВ 0, тогда длина бокового ребра SВ = 5.

В бланк ответов: 5
стереометрические задачи, примеры 4-7

Пример 8.

В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SB = 15, AC = 18. Найдите длину отрезка SО.

S


D C

О

А B


Решение:

В основании данной правильной пирамиды – квадрат ABCD. Значит, по свойствам квадрата АС=BD, ОВ= BD:2=18:2=9.

Из определения правильной пирамиды отрезок SO – ее высота, значит, ОSB -

прямоугольный.

S
15

D C

O

9 А B


По теореме Пифагора

2 = SО2 + ОB2, тогда152 = SО 2 + 92, 225 = SО2 + 81,

2 = 225 - 81, 2 = 144,

т.к. SО 0, тогда высота пирамиды SО = 12.

В бланк ответов: 12

Пример 9.

S

К М

D С

А В

В13. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все рёбра равны между собой. Точки K и M лежат на рёбрах SA и SB, при этом Найдите угол между прямыми KM и SC. Ответ дайте в градусах.

Решение:



S

К М
D С
А В

По условию Отсюда KM || АВ. В основании данной правильной пирамиды – квадрат ABCD. Значит, AB || DC. Тогда KM || DC. Следовательно, углом между скрещивающимися прямыми KM и SC является угол SCD. Так как все рёбра равны между собой, тогда все грани – равносторонние треугольники. Отсюда SCD = 60°.

В бланк ответов: 60

стереометрические задачи, примеры 8-11

Пример 10.





М



К

D С
А В

В13. В кубе точки K и M лежат на рёбрах и соответственно, причем Найдите угол между прямыми KM и АС. Ответ дайте в градусах.

Решение:



М

L

К

D С


А В

По условию Построим Получим, что в кубе прямая LМ||АС. Углом между скрещивающимися прямыми KM и АC является угол КМL. LМ = МК = LК, т.е. LМК – равносторонний. Отсюда КМL = 60°.

В бланк ответов: 60

Пример 11.





К



М

6 D С



А В

7

В13. В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: = 6, АВ = 7, Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью , где точки M и K разбивают рёбра и в отношении 2 : 1, считая от прямой ВС.

Решение:

Так как точки M и K разбивают рёбра и в отношении 2 : 1, считая от прямой ВС, тогда = =

= 6 : (2 +1) = 2. Очевидно, что сечение параллелепипеда плоскостью - прямоугольник . Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получим: . Тогда .

В бланк ответов: 53



стереометрические задачи, примеры 8-11

Пример 12.

В13. Высота конуса равна 7, а диаметр основания – 48. Найдите образующую конуса.




Решение:

SO – высота конуса, тогда SOВ

прямоугольный.

По теореме Пифагора

2 = SО2 + ОВ2,

2 = 72 + (48:2)2,

2 = 49 + 242,



S

7

A

O 24

B

2 = 49 + 576, SВ2 = 625,

т.к. SВ 0, тогда образующая конуса SВ = 25.

В бланк ответов: 25


стереометрические задачи, примеры 12-13

Содержание
Пример 13.

В13. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12, а высота равна 6. Найдите диаметр основания.




Решение:

Площадь боковой поверхности цилиндра , где - радиус основания, - высота цилиндра. Подставляя в формулу , =6, получим . Диаметр основания d = 2r, тогда . Отсюда d= 2.

В бланк ответов: 2



стереометрические задачи, примеры 12-13

Содержание


перейти в каталог файлов


связь с админом